数学是人类发明的，还是宇宙本身的语言？-干货逻辑

我就举一个例子，欧拉公式，被数学界广泛公认的世界上最优美最伟大的公式，同时被称为“上帝公式”。

数学家卡尔·弗里德里希·高斯曾说过这样的话：一个人能否感受到欧拉公式的魅力，决定了他是否有成为数学家的潜质。

而本文，就是要让诸位读者具备数学家的潜质，下面会保姆式手把手的给大家推导出这个公式。

这个公式其实很简洁：

$e^{ipi}+1=0$

$e^{ix}=cosx+i sinx$

这看似简洁的公式，却是公认的人类现代科技文明大爆炸的起点。

因为没有这个公式的发明（或叫发现），就没有复分析，没有傅里叶变换，没有线性微分方程，那么电磁学就无法发展，雷达、反导技术、4G、5G信号科技就不会存在，量子力学也会受到根本性阻碍，广义相对论的张量分析和量子场论中的路径积分也无法存在；拉普拉斯变换也不会存在，于是自动化系统设计困难，机器人、航空航天技术发展受限等等。

总之，没有欧拉公式，就没有大部分的现代科技突破，人类对自然规律的理解更肤浅。

为什么欧拉公式被称之为“上帝公式”？

因为它以极致的简洁性，将数学中五个最核心的常数和三个基本运算完美统一，展现出一种近乎神性的和谐。欧拉公式里面，一次性汇聚了数学史上最重要的五个常数，这五个常数分别来自算术、代数、几何、分析和复数理论，本属于完全不同的数学分支，却被欧拉公式用一个等式紧密联结，仿佛揭示了宇宙的某种终极设计。

公式中隐含了数学的三种核心运算，它表明加法、乘法和指数运算在复数域中存在深层次的联系，这种统一性在数学中极为罕见。

欧拉公式的推广形式 $e^{ix}=cosx+i sinx$ ，是描述旋转、波动和周期性的终极工具，而这三者正是自然界的基本现象，它暗示数学不仅是人类发明，更是宇宙的固有语言。

数学家克莱因（Felix Klein）曾说：“这是数学中最神秘的公式，仿佛上帝在一瞬间将真理写给了欧拉。”

物理学家费曼称其为“数学中最卓越的宝石”。

欧拉公式之所以被称为“上帝公式”，是因为它像一把钥匙，打开了数学与自然之间的神秘之门。它的美不在于复杂性，而在于用最简单的符号揭示了最深刻的真理——仿佛宇宙的设计者悄悄留下的签名。正如数学家保罗·纳欣（Paul Nahin）所说：“如果你想用一句话向外星文明证明人类的智慧，就发送欧拉恒等式。”

如果你是理科专业，你就知道欧拉公式有多重要，并且这也是很多理科生的瓶颈，如果无法理解这个公式，那么基本上你的理科探寻之路到此为止了。

而本篇文章，何老师我并不仅仅是让你知道这个公式，而是要让你彻底的理解与精通，让它成为你智慧的一部分，能够像数学家一样以高维视角看待事物。

首先第一个问题，什么是虚数i？

虚数i的定义很简单，就是它的平方就是-1：

$i^2=-1$

因为实数里面没有这样的数能让这个式子成立，于是人类凭空定义了一个数，称之为虚数i，你也可以理解成根号下-1

为什么人类要定义这样的一个数？

在带大家探讨虚数i之前，我先带大家简单的思考下，数学的本质是什么？

数学的其中一个本质，是人类为了描述客观世界规律而发明的一种语言（尽管后面人类愈发觉得并不是发明了数学，而是发现了数学）。

就像1，2，3，4，5，6这样的自然数，最初是为了描述事物某方面属性而存在的。

例如我们描述一个容器的容量是2升，意味着它可以装两个1升的水。

你瞧，我们给事物贴上标量，1个是2升，1个是1升，仅仅贴上这两个数并不是目的，而是手段，通过这样我们知道，前者能装下两个后者，这才是目的。

同样的，我们用数字来定义温度这样的标量，在标准大气压下，把水的冰点定义为 0℃，把沸点定义为 100℃，两者之间分为100等份。然后用水银这种具备均匀的热胀冷缩特性 的物质，用它在不同温度下的膨胀度来对应不同的温度，我们就能知道不同地方不同时间的温度——温度这样的标量不是目的，而是手段，通过这样的手段，我们能预期到自己去到那地方或那时间会是怎样的感受。

你可以看成数字是我们为了描述事物属性而建立的独立参照系，而这样的参照系虽然独立，但如果完全脱离现实事物，那它是没有意义的。

想象一下，假如我们发现了远离太阳系的外星文明，并且彼此建立了沟通渠道。

外星人问我们人类的身形大小是多少。

如果我们回答我们地球人平均身高是175cm，外星人是无法理解这个数字的。

首先我们需要跟外星人表达我们的数学用的是十进制（其实应该说是九进制），我们对外星人那边发9次信号，告诉对方9次以后就开始进入下一个循环。

于是外星人就能理解我们的运算体系最底层的逻辑。

然后我们跟外星人说，你们能观测到太阳吗？并用你们的数学体系定义太阳大小吗？

外星人回答说能。

然后我们就可以说，我们地球人把太阳的直径大小定义为1,392,700 km，而我们地球人的平均身高是0.00175km。

外星人：嗦嘎！那我们知道你们人类的大小了。并且我们也知道你们的单位长度1km是多长了。

接下来外星人又问：那你们地球的温度是多少呢？

当然你不能直接回答28摄氏度，而是要说“我们地球人把水的冰点定义为 0℃，把沸点定义为 100℃，两者之间分为100等份，而地球的平均温度就28℃。”

这样，外星人才能理解我们地球的状态。

我想通过这例子，是为了让大家明白，数字存在的意义，就是为了建立一个参照系，从而能够描述不同事物的属性。你瞧，如果单单只给一个事物贴上标量，是没有意义的，你只说某样东西的温度是10摄氏度是没意义的，你只有给出了水的冰点是0摄氏度、沸点是100摄氏度这样的参考，你才能理解10摄氏度是怎样的状态。

在讲虚数前我之所以做以上铺垫，只是像让大家深刻的明白一个道理——是数学为人类与现实客观规律服务，而不是人类与现实客观规律为数学服务。当人类发现了一个新的现象，而原来的数学体系里面没有对应的语言去描述新的现象或规律的时候，这时候人类就会发明新的数学规则，并且这个新规则是能够跟已有的体系自洽的。

再讲一个冷知识，其实人类对负数（例如-1）的接受，其实比微积分的发明还要晚。

大家现在对负数习以为常了，但你能想象当初的人们对负数这个概念的难以理解程度，不亚于现在的你对虚数 $sqrt{-1}$ 的难以理解程度吗？

那时候的人们都觉得，0已经是最小的数了，就是代表没有了，有什么比0更小的吗？比没有更没有？

负数的存在，是人类对数学本质的进一步理解与拓展。

你瞧，上文说到，数字的意义就是为了建立一个参照系，来描述不同事物的某种属性。它的本质就是要通过参照来定义事物的标量，数字是为这个功能服务的，是数字成全了参照系，而不是参照系成全数字。

例如我们定义了水的冰点温度是0，那如果出现比水的冰点更低的温度呢？我们又该如何定义比0更低的温度？

当然，你也可以修改水的冰点温度标量，你可以把水的冰点温度定义为10、或者20、100都可以。但还是会出现，比10度低11度的温度，那该怎么定义？又要修改吗？

何不把格局放高点，本来我们发明1、2、3、4这样的数字，就是为了参照而存在，那我们也可以定义新的数字，用来表示比0更低的标量啊！

于是负数发明了。负数的出现，进一步深化了数字为参照而服务。

并且接受了负数之后，后面人类才能发明坐标轴、向量这样的数学工具。

我们研究运动状态的时候，把初始位置设为原点，也就是0点，如果把正东方视为正数方向，那么正西方就是负数方向，以此来记录物体的运动轨迹。当然你也可以不纳入负数的概念，把向东与向西分开两个独立的运算系统，只不过这样会很低效。

然后到了虚数的提出，数学的语言库又再一次拓展。

虚数最初是怎么诞生的？

在16世纪，数学家们研究三次方程时，发现即使方程有实数解，计算过程中也会出现负数的平方根，这让他们非常困惑。

意大利数学家卡尔达诺在《大术》（ Ars Magna ）中给出了三次方程的解法（卡尔达诺公式）（这里我们就不展开探讨了）

他发现，对于某些方程如 $x^3=15x+4$ ，解应该是实数（其中是x=4)，但在用卡尔达诺公式的计算过程中却出现 $sqrt{-121}$ 这样的无意义的数，虽然最终结果里我们看不到这个数。

于是当时数学家们把这样的数称之为“虚数”，意思是虚构出来的不存在的数。

用他们的话说，这些虚数如同幽灵一样鬼魅的出现，让计算得以推进，最后为了避免尴尬，又识趣的离开。（就像游戏辐射4里的神秘客那样。）

（同时这也说明，数学乘法的背后，还有着人类未曾探索的空间，数学运算以一种人类并未完全知晓的方式运行，人类现在只看到了其中一面，这也是为什么从那以后人们开始觉得人类不是发明了数学，而是发现数学）

直到一些不识趣的数学家，硬要较真，提出类似 $x^2+1=0$ 这样的式子求解，硬要把虚数这个害羞的只想默默无闻的数推出大庭广众之下。

我们知道 $x^2+1=0$ 是没有实数解的，因为这推出 $x^2=-1$ ， $x=sqrt{-1}$

原本的数学体系里不存在能平方后等于负数的数。

但我们何不换个角度想， $x^2+1=0$ 这样的式子本来也是虚构且无意义的啊！在当时这个式子能找到对应的现实意义不？既然是虚构且无意义的问题，那我给个同样是虚构且无意义的答案，很公平合理啊！

但是！如果现实中确实有对应 $x^2+1=0$ 这样的式子的现实问题，那你就不能说它是无意义的了！那么它的解， $x=sqrt{-1}$ ，也同样具备了现实意义。那么这时候，数学的语言库不得不拓展，设立一个数对应这个解。

**还记得前面强调的吗？**是数学为人类与现实客观规律服务，而不是人类与现实客观规律为数学服务 。

就如同以前定义了负数一样，只需前面加个负号，人类可以同样定义这样的虚数，只需要加个i，i就是虚数单位。

我们回想下，为什么说负数无法开平方根？

那是因为平方根的结果，是两个相同的数相乘得出原来的数的那两个相同的数。

而我们找不到两个相同的数相乘会得出负数的。

为什么？

因为负负得正，两个负数相乘只能得出正数，同样的，两个正数相乘还是等于正数。

为什么两个负数相乘只能得出正数？

因为不这样的话，原来的加减乘除运算就会出现矛盾。

还记得小学知识不，一个数，不管是正数还是负数，只要乘上另一个负数，那么正负号就会发生改变。

例如4乘以-1，得-4

如果不这样设定，就会产生怎样得矛盾呢？

举个例子，5=6-1，按既有的数学法则，也可以写成5=6+（-1）

4✖5=20，那么就可以写成4✖[6+(-1)]=20

按照既定的乘法分配律，上式就可以写成4✖6+4✖（-1）=20

这时候，你只能让4✖（-1）=-4 ，才能让上式成立，否则原有的数学体系就存在矛盾了。

你瞧，之所以任何数乘以负数后，原来的正负号就要发生变化，是为了成全原来的数学体系不让其产生矛盾，而推出的一个设定。

那么，我们完全可以增加一个设定，只要这个设定不跟原来数学体系矛盾就行了。

数学家们发现，一个数乘以-1后，就相当于在数轴上转了180°，如下图：

如果想让 $sqrt{-1}$ 有意义，那么 $4times-1=4timessqrt{-1}timessqrt{-1}=-4$

乘两次根号下1，就得出-4，那么只乘一次根号下-1呢？

是不是就可以看成，旋转了90°？

可问题来了，这原本就是个一维数轴啊！这硬生生的变成了二维。

是的，我们在一维数轴上，添加了一条新的数轴，这个数轴称之为虚数轴。

这个虚数轴，跟实数轴共享一个原点，也就是0点是重合的。

我们设一个i，表示这个虚数轴的单位，并且这个i的模长，跟实数轴上1的模长是一样的（什么是模长，现阶段你就简单的理解成长度就行了。）

那么上图就是：

你瞧，因为我们在实数域里找不到一个数对应4✖ $sqrt{-1}$ 的结果，于是我们虚构了一个数，并为这个数虚构了一个数轴。

我们设 $sqrt{-1}=i$ , 那么 $4timessqrt{-1}=4times i=4i$

于是，我们把某个实数乘以虚数i后，定义为把数轴上0到某个实数的线段，逆时针转了90°后的状态。

例如， $（-4）times i=-4i$ ，如图：

这个虚数轴与实数轴形成的平面，我们称之为复平面。

（我们默认这个虚数轴在这虚构的空间与实数轴垂直，但其实很多人不知道，这并不是一个强条件，我们可以设这个虚数轴从0点出发，与实数轴0点两边都同时呈30°角，也就是同时与正数轴、负数轴呈30°夹角，这在我们现实三维空间看似不可能，但别忘了毕竟这是我们虚构的亚空间，我们可以随意制定规则，实数乘以i后就是在复平面上旋转了30°，再乘一次 i 就是又旋转了30°，因为我们设定了这个虚数轴是同时与正数轴、负数轴呈30°夹角，于是又回到了实数轴上，这与我们原来的数学体系依然是自洽的，并且你若要仔细深究的话，会发现这个系统依然可以运作，依然可以与后面要讲的欧拉公式自洽。

关键是，必须有一个数轴，用来容纳虚数，因为这些虚数，实数轴上不收留它们，至于这个数轴怎么设定，只要能够自洽就行。之所以设定为与实数轴呈90°，是因为这样更直观，运算更方便。）

记住，数学是人类创造的语言，你可以大胆的进行创造。

例如，你可以说我觉得实数乘以虚数就在复平面上转90°，这个设定不好，我觉得设定成实数加虚数 i 就是在复平面上转90°，再加一次 i 就是再转90°，回到了实数轴上，我觉得这个设定也挺好。

完全没问题。

又或者，你可以设定一个数，规则就是，任何实数乘以它后就回回到数轴原点，再乘一次就是去到数轴另一边与原来的数对称。

也可以啊。

又或者创造一个新的数学符号，新的运算来表示复平面。

这些都没毛病。

数学是自由的，我鼓励大家大胆的去创造新的数学语言，新的运算法则。

但上面这些都无法与原来的数学体系自洽，也会带来诸多矛盾，于是你只能在一个你创造的独立的运算系统里面反馈出结果后，再用这个结果值融入到公共数学体系中。这就类似计算机中用了两套互不兼容的程序或系统，可以是可以，但效率很低，也无法进行更有深度的运算。

而把 $sqrt{-1}$ 的结果设定成虚数 i，乘一次 i 就是原本在实数轴上的数作圆周运动移动了90°，去到虚数轴上，再乘一次就是又旋转了90°，去到了实数轴的另一边，与原数值形成原点对称。这个规则本身就跟原数学体系是自洽的。

于是我们就有以下几种虚数运算规则：

$i^2=-1$

i乘以一个实数，例如 $atimes i=ai$ , 它表示的是沿着与虚数轴平行的方向行进了a，因为i的模长是1，那么ai也可以称为是模长为a的虚数。

i乘以0等于0。

在此基础上，我们提出了复数这一概念（不是负数，我一直都吐槽为什么中文区要把负数跟复数用同一发音啊，这太容易混淆了，我真是吐了。）

复数就是一个实数加一个虚数的组合，它的通用表达式是：

$a+bi$

其中a是实部，bi是虚部。

它表示的是复平面上的坐标，怎么理解呢？

我们先回到一维数轴上，在一维数轴里面，我们怎么理解3+2这样的概念呢？

就是数轴从原点先往右移动3，再移动2，最后到5这个点上：

那么如果是复数3+2i该怎么表示呢？

就相当于在数轴上从原点先往右移动3，然后把方向旋转90°，沿着与虚数轴平行的方向移动2，像这样：

上面这个复平面里面的点，就是3+2i

其实你亦可以这样理解，原来的3+2里面的2，乘以了一个虚数i，于是它以它的起点（也就是3那个点）为圆心，沿着圆周运动逆时针旋转了90°。像这样：

上面的两张图，你要抱着这样的心态，就是把这个坐标轴仍然视为一维坐标轴，只不过这些一维的存在似乎不甘于自己只是个一维生物，凭着自己的努力，愣是突破了维度壁垒。

就如同一般二维坐标轴一样，复平面上的坐标，亦可以表示为复平面上的向量，也就是3+2i也可以视为向量。但我为了让本篇内容的信息量不要太多，我后面会尽量避免用到向量这个概念。

这时候，我们尝试把3+2i再乘以一个i，看看会发生什么？

$i3+2i=3i+2i^2$

还记得前面说的，i的平方等于什么？等于-1，于是，上式就可以写成：

$3i+2i^2=-2+3i$

我们看看-2+3i这个复数，在复平面上对应哪个点：

你会发现，在复平面上-2+3i这个点，恰好是3+2i这个点，以原点为圆心，从原点到3+2i的连线为半径，逆时针旋转了90°：

这很好证明，运用的是初中的几何知识，只需要证明从原点到3+2i跟到-2+3i的点的距离一样，并且原点跟这两个点的连线，与实数轴或虚数轴形成的夹角加起来是90°，就可以证明出从3+2i到-2+3i是走了1/4圆弧，这种初中几何题就不在这里展开了。

你瞧，这也跟我们一开始的设定，实数乘以i后，就是相当于以原点为圆心，原点到这个实数的线段为半径，在复平面上逆时针转90°。

现在我们神奇的发现因为虚数的运算法则，使得这个设定可以扩展到整个复数域，复平面上任意一个点，只要乘以i，就是相当于以原点为圆心，旋转了90°。

这个与虚数相乘的结果，与原先的设定形成了自洽。

同时，复数的表达式可以写成另一种形式，就是极坐标形式：

$rcostheta+isintheta$

为什么可以这样写，其实很简单，r代表的是旋转半径， $theta$ 就是旋转角度。

复数坐标与原点的连线，跟实数轴上的实部线段、虚数部分的线段，形成了直角三角形：

那么 $rcostheta$ 其实就是实部， $risintheta$ 就是虚部，斜边长度就是r。

复数其实还有一种表现形式，就是 $i^a$

你瞧，乘以一个i 就是旋转了90°，那么很容易推出，乘以 $sqrt{i}$ 就是旋转了45°

$sqrt{i}$ 亦可以写成 $i^frac{1}{2}$

同时， $i^frac{1}{2}$ 亦可以用实部加虚部的表达式表示，只需要算出这个点到实数轴的距离、跟到虚数轴的距离就可以了

$i^frac{1}{2}$ 其实有正负两个解，所以，它两个解的点，以实部加虚部的表达形式就是：

$frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}i$ , $-frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}i$

同样的，任意一个实部加虚部的原点距离为1的复数表达式，都可以写成 $i^xi$ ，字母 $xi$ 的意思，是指必然存在一个实数，使等式两边成立。

以上就是一维数轴下，虚数运算的最基本法则。

下面我们进一步探讨，如果在二维平面坐标轴下，复数函数的表现形式。

带虚部的二维平面坐标轴默认是这样：

这时候有人要说了，何老师你是不是糊涂啦！说好的二维坐标系平面，可你画的是三维啊！

那是因为原本是实数轴上的生物，不甘于自己只是个一维，硬生生的突破了维度壁垒，还记得吗？

所以你看这个三维图像，你要心里默认成它是个二维坐标系。

这个二维坐标系里，首先这个虚数轴，必须要明确是哪个轴的虚部。

记住！虚数轴只能对应一个实数轴，它是不能够几个实数轴共享一个虚数轴的。

如果我们视y为函数值，那么一般设定虚数轴就是y的虚部，虚数轴是属于y轴的，就像一夫一妻制一样，虚数轴嫁给了y轴，就跟x轴没关系了！

但共享一个原点0。

我们知道虚数轴跟y轴相互垂直，那么虚数轴跟x轴是不是也相互垂直呢？其实这个是不确定的。因为虚数轴是y轴的，跟x轴是完全割裂的，除了共享同个原点。只不过我们为了直观的表示函数关系，把它画成也跟x轴垂直。

那么在这个坐标轴，yoi就形成了复平面，记住不存在xoi复平面。

而复数a+ib，就是复平面上的点：

好了，接下来一个重要的问题，带复数的函数图像，该如何呈现？

例如最简单的：y=ix

该如何画？

首先我们知道y=x的函数图像是这样：

这个好理解，没毛病吧？

那么y=ix，就是把它转90°，问题是以哪个轴为轴心转90°呢？

这也是刚开始学的同学们最容易犯浑的点。

很多人以为是以y轴为轴心转90°，其实是错的：

正确的画法应该是这样，是以x轴为轴心，旋转90°：

很多人在这里就懵了！

刚刚不是说好的，复数是在yoi平面上吗？？不是说好的x轴跟复平面无关吗？？你这怎么画到xoi平面上了？不是说好的不存在xoi复平面吗？

首先我们重温下坐标的意义。

就拿一般的二维平面坐标轴来看，某个点的坐标（x,y)

其实可以看成是，从这个点，做一条线段垂直于x轴，这个线段上这个点到x轴的距离，对应的是y值；同理，做一条线垂直于y轴，这个线段上这个点到y轴的距离，对应的是x值。

其实，我们可以看到，y值其实是这条从坐标点出发垂直于x轴的线段在y轴的投影；而x值其实是从坐标点出发垂直于y轴的线段在x轴的投影。

理解了这个，我们再来看看有复平面的二维坐标轴。

函数y=ix的函数值y，其实是这个往x轴方向的直线在复平面上的投影：

为了方便大家理解，我再给一个函数图像，这次函数是

$y=2+ix$

这个函数图像应该是这么画：

而所有的y值，其实就是这个三维图像在复平面yoi的投影，记住这个，很重要。

（但其实，用“投影”这个词是不太准确的，还记得前面说的，x轴只与续重共享一个原点，但它们不在一个维度上，准确的说这个投影应该是“值域”，只不过为了大家更直观，我说成“投影”，所以后面出现“投影”这个词，其实是“值域”的意思）

如果还不明白的话，需要自己慢慢琢磨下。如果这个理解不了，那就先不要往下看了，后面你就更理解不了了。

好了，理解了二维坐标轴下，带复数的函数图像后，接下来，我们证实开始讲欧拉公式了。

欧拉公式的思想，其实是 $e^{ix}$ 在一维坐标轴上的运动轨迹，其实是以原点为圆心，半径为1的圆周运动

——该如何理解与证明，就是本文的重点。

首先e是自然常数，自然常数是一个在数学界里的重要程度不亚于 $pi$ 的无理数，但本文就不展开讲了，这里只需要知道并记住：函数 $e^x$ 的导函数就是它自己 $e^x$ ，这是这个自然常数最重要的性质。

$e^{ix}$ 在一维数轴的运动轨迹是这样：

为什么呢？

这就是欧拉最伟大的发现之一。

其证明方法有几种，我后面会把几种证明方法都放出来。

但最重要的一种，就是以直观的方式去理解，也是接下来的重点。

首先我需要说的是，网上一些视频的说法，其实是错的，或者说非常不严谨。

一些up主会这样说：

因为 $e^{ix}$ 的导函数是 $ie^{ix}$ (求导的链式法则）

因为带着系数i，乘以i就是表示旋转90°，那意味着导数值总是垂直于这个点的运动方向，于是这个点的运动方向总是垂直于这个点与原点的连线。

上述其实证明的方向，还有结果是对的，但过程错的很离谱，是把读者带到坑里。

首先，导数的意义是什么？是两个变量的相互变化率

它能在一维数轴上表示吗？

不能！

导数的意义，是函数图像中，代表着每一点的即时运动方向的切线的斜率，称之为导数，而由这些导数形成的函数称之为导函数。

你在一维数轴上讨论导数，是没意义的！

你看这个图：

这图只有一个变量x，并且x值对应的点在哪里？？一维数轴只能表示函数值！

导数与导函数，只有在二维平面坐标轴，才有意义。

所以对 $e^{ix}$ 求导，其实是对 $y=e^{ix}$ 这个函数表达式求导

而 $y=e^{ix}$ 在二维平面坐标系的图像其实是这样：

它是一个以x轴为中心的无限延伸的螺旋体。

而这个无限延伸的螺旋体，投影到yoi这个复平面上，会重合成一个半径为1的圆。

其实，这个在复平面上的圆的投影，就是所有 $e^{ix}$ 的取值，这个圆包含了所有的y值。

当然，上面的图像是我们现在要去证明的，只不过提前让大家知道我们的目的是什么。

而它的导函数 $y'=ie^{ix}$ ,其实是上图这个螺旋体里的点的即时运动方向所在的切线的斜率的函数。

$y=e^{ix}$ 的函数图像上，某个点 $e^{ia}$ 的运动方向的切线，如下图，红色的那条线：

而这条线的斜率，是 $ie^{ia}$

而现在我们的目的是，证明任意一点 $y=e^{ia}$ 点的切线，在复平面yoi上的投影，是与复平面上原点至 $e^{ia}$ 点连线垂直，且经过复平面上 $e^{ia}$ 点，这样就能证明复平面上 $e^{ix}$ 是圆周运动。因为圆周运动的充要条件，就是它每一时刻的运动方向都是垂直于它与圆心的连线。

而很多人犯的另一个错误，就是以为只要带个虚数i作为系数，那它的运动轨迹就是圆周。

我随便举个反例就行了。

例如前面的最简单的例子y=ix

它的导函数就是i

它是带着i啊，可原函数是螺旋体吗？不是。

如果你说i后面必须带着由自变量x的函数表达式，也行。我举一个

$y=ie^x$

它的导函数 $y'=ie^x$

可原函数是螺旋体吗？

不是！

所以重点不只是那个系数i ,而是系数i与另一个复数的组合。

下面是正确的证明方法：

首先， $e^{ix}$ 是一个复数，于是它是可以用实部加虚部的表达式来表示：

$Ax+iBx$

它的实部与虚部，是随着x值得变化而变化，于是是自变量为x的函数。

因为它的导函数 $y'=ie^{ix}$

$e^{ix}$ 又是一个复数，还记得前面怎么说的吗？复数乘以i，就是把原先复平面上的点，以原点为圆心，这个点到原点的线段为半径，旋转90°。

我们取 $e^{ix}$ 的运动轨迹上的任意一点 $e^{ia}$ 在复平面的投影（其实就是 $e^{ia}$ ）来演示：

你瞧，这个乘以i后得来的新的复平面上的点，与原点的连线，是垂直于原来的点与原点的连线。

这时候恐怕有学渣跳出来说，妥了！这是不是就说明原来的点的运动方向就是垂直于与原点的连线！

还没到那步！

要知道，导数值，代表的是这个点的即时运动方向所在的切线的斜率！

所以， $ie^{ia}$ 这个点，代表的是斜率值！而不是这个切线！

一条线的斜率是个复数，该如何理解呢？

其实，学过向量的就知道，一个点的坐标，也可以视为从原点到这个点的线段代表的向量，而这个向量所在的直线的斜率也可以用向量表示。还记得前面提到，复数本身也可以视为向量吗？如果向量A与向量B垂直，那么由向量B作为斜率的直线，是与向量A垂直的，于是就证明了 $e^{ia}$ 这个点的即时运动方向垂直于它与原点连线。

但我知道大家肯定对这种证明方法不满意，这就好像强行加了一个设定。

不要紧！接下来我们抛开向量的概念，因为我前面承诺过尽量不用向量，下面就用上文已有的设定，去证明。

我们回顾下，在一般的图像为直线的函数表达式里面，斜率是怎么表示？

例如 y=kx+b

这条直线的斜率就是k

那么，如果是斜率为k，且经过原点的直线的函数表达式，就是：

y=kx+0，也就是 y=kx

如果斜率k是个复数，那会怎样呢？

那就直接乘来看看呗。

例如斜率是3+2i的且经过原点的直线

那么函数表达式就是

y=(3+2i)x

它在二维坐标系的函数图像大概是这样：

它的函数图像在复平面上的投影恰好就是：

函数图像在复平面上的投影就是所有y值的取值，也就是值域，记得不？

所以你瞧，斜率是复数的、经过原点的直线，在复平面上的投影，就是从原点出发经过这个复数的直线。

这时候如果系数乘以个i，也就是斜率乘上个i，就变成了（-2+3i）x，这条线不就与原来的（3+2i)x 垂直嘛！

回到 $e^{ix}$ ，我们在函数图像上任取一点 $e^{ia}$ ，我们从原点出发，做条直线连上 $e^{ia}$ ，那么这条直线的函数表达式，是不是就是

$y=e^{ia}x$

我们取这条直线从原点到 $e^{ia}$ 点的线段，投影到复平面yoi上的图像，是不是就是从原点到 $e^{ia}$ :

而斜率是 $ie^{ia}$ 且经过原点的直线 $y=ie^{ia}x$ ，在复平面上的投影，就是从原点出发，经过 $ie^{ia}$ 这个点的直线。

因为前面我们已经知道了，根据复数乘法的性质，在复平面上， $ie^{ia}$ 这个点至原点的连线，与 $e^{ia}$ 点至原点的连线是垂直的！因为前者是后者乘以i得出的嘛！相当于后者 $e^{ia}$ 以原点为圆心逆时针转了90°得出 $ie^{ia}$ 这个点，那么自然原点与这两个点的连线是相互垂直的。

而 $ie^{ia}$ 至原点的连线，恰好是与在二维平面坐标系中斜率为 $ie^{ia}$ 的经过原点的直线 $y=ie^{ia}x$ 在复平面的投影重合。

但注意！ $y=ie^{ia}x$ 这条直线，还不是 $y=e^{ix}$ 的函数图像上某个点 $e^{ia}$ 的运动方向的切线。

真正切线的函数表达式，高中学过了，是：

$y=f'ax-a+fa$

那么在这里，切线的表达式就是：

$y=ie{ia}(x-a)+e{ia}$

因为这个表达式里面x的系数跟 $y=ie^{ia}x$ 是一样的，都是 $ie^{ia}$ ，所以这两条直线是平行的！

那么 $y=ie{ia}(x-a)+e{ia}$ 这条直线在复平面上的投影，与直线 $y=ie^{ia}x$ 在复平面的投影是平行的！

所以， $y=ie{ia}(x-a)+e{ia}$ 这条直线在复平面上的投影，是与复平面上原点到 $e^{ia}$ 点的连线垂直！并且经过 $e^{ia}$ 点。

这就相当于把线这 $y=ie^{ia}x$ 在复平面的投影平移到刚好经过复平面上 $e^{ia}$ 点。

所以，最终我们证明出，复平面上 $e^{ia}$ 点的运动方向，是垂直于复平面上原点与 $e^{ia}$ 点的连线。

而 $e^{ix}$ 运动轨迹在复平面上投影的每个点都可以用上述方法证明，于是它在复平面上的的运动轨迹必然是个圆！因为圆的性质，就是每个点的运动切线方向都是垂直于这个点与圆心连线的半径。

而当x=0时， $e^{i0}=1$ , 这时候这个点落在了实数轴上1的位置。

可以得出，这个圆的半径就是1.

其实上面我为了让大家不要太过懵逼，故意少了一步，现在大家理解了整个证明思路后，我下面再加上这一步。

复平面上从原点到函数图像 $y=e^{ix}$ 运动轨迹在复平面投影的某个点 $e^{ia}$ 的连线，其实是在二维坐标系里从原点出发，连到 $y=e^{ia}$ 的点的连线，其实它有无穷多条，而这无穷多条连线在复平面上的投影恰好重合成一条：

而这无穷多个 $y=e^{ia}$ 的点，在复平面上的投影都重合成一个点，就是 $e^{ia}$

而所有 $y=e^{ia}$ 点的运动方向的切线，在复平面上的投影都重合成一条垂直于从原点到 $e^{ia}$ 的直线并经过 $e^{ia}$ 点。

以上才是完整的证明过程。

现在我们回到复平面上。

我们成功证明了 $y=e^{ix}$ 在复平面的投影是个半径为1的标准圆。

那么我们就可以在一维数轴上用一个半径为1的标准圆表示 $e^{ix}$

到这里，很多人以为就大功告成啦！

错啦！

欧拉公式的思想，除了推导出 $e^{ix}$ 是个单位圆，还有一个更重要的定理，就是x的取值恰好就是等于弧长。

欧拉公式是这样：

$e^{ipi}+1=0$ 或 $e^{ipi}=-1$

$e^{ix}=cosx+i sinx$

看到其中的特点没？x的取值就是半径为1的单位圆的弧长，而x取值 $pi$ 的时候，恰好就是个半圆，去到了-1的位置

很多视频up主只讲到了 $e^{ix}$ 是个单位圆，然后就直接给出了x的取值就是弧长的结论，这直接跳过了证明。

但其实上面证明过程，只证明到 $y=e^{ix}$ 的值域是复平面上的单位圆。

单位圆的意思就是半径为1.

为什么半径为1呢？

很简单，当取x=0的时候，i0=0，于是 $e{i0}=e0=1$

所以，当x=0的时候，y值就落在了实数轴上的1的位置，这时候是没有虚部的。

而根据上文的推导，y值的运动方向在复平面上的投影，就是在复平面上垂直于它与原点连线的方向，也就是圆周运动。

所以这个圆周运动的半径为1.

于是可以推出

$e^{ix}=cost+i sint$

为什么可以写成这样？

因为在过去学二维直角坐标系的时候，以坐标轴原点为圆心，半径为1的圆弧上，每个点的坐标都可以用（sin t，cos t)来表示。

其中t为自变量，它可以视为半径的旋转角度。

因为sin t的取值就是这个角度对应的对角边与作为斜边的半径形成的比值，而因为半径为1，所以这个角度t对应对角边长度就是 sin t，

于是，圆弧上的点的纵坐标就是 sin t。

而横坐标，自然就是 cos t啦。

于是， $e^{ix}$ 在复平面上的值域，亦可以用 $cost+i sint$ 来表示：

$e^{ix}=cost+i sint$

只是现在还差最后一步，就是x与t的关系到底是什么？

而欧拉公式的最终形态可以看到，x=t

——而这个就是要接下来证明的。（但如果是直接用泰勒展开的方式推导欧拉公式，这步是不需要的了）

这个需要严谨证明的，也是欧拉公式最重要的部分，下面就给出证明。除此之外，还有另外一种更简单的方式推导出欧拉公式的方法

除此之外，后面还会给出欧拉公式另一种更简单的推导，也就是泰勒展开公式。

在此之前如果没了解过泰勒展开的，推荐阅读以下这篇：

大学数学路上的第一个大魔王，泰勒展开公式、佩亚诺与拉格朗日余项

欲看完全文，请前往以下链接：

深入骨髓的解剖欧拉公式，能否直观的理解它决定了你是否有成为数学家的潜质

评论区

白夜: 唉，以前学数学的时候学的还可以，但老觉得枯燥。就是没理解到一个基本道理：数学是人类凭空发明的一个工具，用来解决现实问题。当时学哪些什么函数什么什么是的，就是没和现实联系起来，为了学而学，也不知道学了有什么用，感觉以后出了社会也用不着，所以没兴趣 👍🏽253 💭四川 🕐2025-11-08 10:19:57

│ └── 不会变成恶龙: 这些东西需要别人告诉你才能理解的话，你本身在学习上也不会有什么造诣。 👍🏽52 💭江苏 🕐2025-11-08 11:58:50
│ │ └── hguanH: 确实只有自己领域内研究的越深入才越能体会到数学的重要性 👍🏽16 💭山东 🕐2025-11-08 12:19:56
│ │ └── 平行宇宙的坚果: 99.99999%的人没有你所谓的数学造诣，也不需要数学造诣，但是尽可能提高这些人对这些数学知识的理解不是更能促进社会进步？ 👍🏽2 💭新加坡 🕐2025-11-10 09:29:39
│ │ │ └── 谁煮水煮鱼: 不你那只能促进个体对整体来说没用而尽可能找出那0.000001%有数学造诣的人再去提高他们才有数学整体的进步就好比你提升中国的跑步成绩人人都跑的变快但百米还是跑不进10秒就没用而得找出刘翔在培养才能提升中国跑步最佳成绩 👍🏽0 💭湖南 🕐2025-11-13 09:52:11
│ │ │ └── 平行宇宙的坚果: 你应该没参加工作，找个班上吧，最好是技术相关的 👍🏽0 💭浙江 🕐2025-11-13 16:43:42
│ │ └── 平行宇宙的坚果: 数学只是一个工具，编工具书的人编写的不行为什么要怪使用者阅读能力不够？ 👍🏽2 💭新加坡 🕐2025-11-10 09:32:10
│ │ └── 优雅的地瓜: 有意思也就是说不要埋怨别人不教要怪就怪自己不会不说站在牛顿面前了就是站在你们全省状元前面按照你的理论你在学习上也没什么造诣 👍🏽1 💭新疆 🕐2025-11-12 02:21:36
│ └── 总架构师: 主要是学校没教数学史，这些都不是凭空发明的，都是有历史发展轨迹的 👍🏽46 💭广西 🕐2025-11-08 13:03:31
│ │ └── 思想者: 中国教育一大缺陷：不考就不学。 👍🏽12 💭广东 🕐2025-11-08 17:37:23
│ │ │ └── 听风的歌: 中国的教育啊，就像照着攻略打游戏。什么剧情啊？什么人物啊？什么历史啊？通通没有用。告诉你去哪里拿什么东西。怎么打boss就行了。评价这个人,也不管你对这个游戏了解有多少，只看你boss打到哪。 👍🏽13 💭辽宁 🕐2025-11-08 20:22:30
│ │ │ └── 坤承: 原来我喜欢玩游戏看剧情还有这一层帮助，我当时真的会去了解这些 👍🏽0 💭吉林 🕐2025-11-10 17:05:30
│ │ └── 荀且: 我看还是别学，到时候又考欧拉公式是哪一年发表的，对后世影响主要有哪五点，脑子都要炸了 👍🏽1 💭江苏 🕐2025-11-10 17:24:49
│ │ └── 七戒: 中学老师讲复数也得讲讲数系扩展史吧？HPM也挺流行的 👍🏽0 💭四川 🕐2025-11-11 09:30:35
│ │ └── 总架构师: 没讲 👍🏽0 💭广西 🕐2025-11-11 12:51:33
│ └── even0415: 高中大部分知识，社会上都用不到，不上大学，初中毕业就混社会的，生存不了吗？高中学习的目的，就是为了卷大学，竞争职位，还有就是锻炼思维。一个人经历过系统学习，思维能力，表达能力，比早早混日子的人强的多 👍🏽12 💭北京 🕐2025-11-08 16:32:51
│ └── 台城柳: 当时学哪些什么函数什么什么是的，就是没和现实联系起来，为了学而学，也不知道学了有什么用，感觉以后出了社会也用不着，所以没兴趣 ------ 这是教育体系的通病，导致了学生们在走出校门之后无法在“课堂上学到的知识”与“现实中遇到的问题”之间建立映射关系。俗话说就是“理论无法联系实际”。我一直认为在讲堂上一定要将公式的来源讲清楚，也就是：发明这个公式的人遇到了什么问题？然后又是怎么解决的这个问题？这样才能在“课堂知识”与“现实问题”之间产生映射关系。 👍🏽16 💭北京 🕐2025-11-08 21:15:26
│ └── 火是什么态: 这完全是大学老师的责任，中学时代按部就班的学也不会出现不懂的问题，就算有，因为科目太多，也没时间给你扯这些，但根号下-1是大学开始学的，根本让人无法接受，老师又不讲为什么这样，完全是大学老师的问题了，科目少时间充足不讲就是不对的 👍🏽4 💭山东 🕐2025-11-08 22:22:29
│ │ └── 柠n檬m: 高中就学虚数了 👍🏽2 💭辽宁 🕐2025-11-08 23:55:58
│ │ │ └── 七戒: 老文科不学 👍🏽0 💭四川 🕐2025-11-11 09:31:19
│ │ │ └── 知乎者也: 我都现在都不理解为什么数学要引入虚数的概念，只会计算怎么求i，还有导数也是一样，记得数学课本把一个圆做切线什么的定义为导数，我到现在也不理解是干嘛的，反正求导就死背那几个公式 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-12 11:48:21
│ │ └── 爆发: 虚数高中就学了 👍🏽0 💭山东 🕐2025-11-10 13:24:39
│ └── 格调1916: 读高中的时候数学老师说的对于大部分来说，数学也就高考的时候有用 👍🏽0 💭四川 🕐2025-11-08 23:59:50
│ └── 泽友搬家综合生活服务: 是你不知道去深入思考，例如：①我读高二的时候为家里烧柴火锯木头、切割树桩立即看见了活生生的椭圆，这就算了，但是我思考，如果是一个理想的圆柱，我斜切割它得到的这个圆柱斜面，如果我想知道把“皮壳”剥开，展开，铺平，那么这样操作得到的一个弓形弧不象是圆弧，那我能不能求出这个曲线方程并且求算面积（也就是圆柱斜面的侧面积）公式呢？在脑子里建平面坐标系利用初中学过的平面几何知识和高中的解析几何，结果发现了身边看得见摸得着的圆、椭圆与正余弦曲线，乃至为了计算“斜树桩”侧面积和周长，又独自发现了弧长公式，为了验证我的弧长公式，又去自学了一点微积分初步，为了计算出结果，各种积分与定积分的求法又摸明白了。毕业之前早就会求各种面积了，包括各种旋转体的侧面积。不过就一个正弦弧长（也就是椭圆周长）真的费了我太多脑细胞与精力，奠定了至今的落魄。②地球绕太阳公转同时自转，那假如站在太空观测，我站位的这个“点”其运动轨迹是什么样的呢（高中毕业半年闲在家里探索）？限于本事，只能缩微极化在平面上去计算，得到了比圆摆线更广泛的摆线的方程x=Rsinut+rcosvt;y=Rcosut+rsinvt，可以生成所有摆线（包括内外圆摆线），连心脏线、心形线、肾形线、苹果竖切面线、n星形线、n叶线、n扭线、n角星芒线，全部统一在这个参数方程组里了。这个真的只须要中学知识就行了（包括计算自相交、自相切、尖点数，讨论闭合与否） 👍🏽7 💭广东 🕐2025-11-09 00:49:25
│ └── P2Tree: 数学在现实中有什么用，可能得其他学科来帮数学回答，数学太基础了，也太抽象了，喜欢数学的人，应该是喜欢抽象思维的人，抽象思维本身就脱离现实应用 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-10 11:02:46
│ │ └── 有品位的精神病人: 高中的数学说实话还谈不上抽象，甚至大一的数学都谈不上抽象，都说兴趣是最好的老师，但对数学产生兴趣本身就是数学天分的一种体现，体会不了数学的美就体会不了吧，大大方方承认也不是不好意思的事。 👍🏽1 💭四川 🕐2025-11-10 11:38:06
│ └── CFAteam: 数学不是工具，数学是一种语言，本质上和汉语英语一样。只不过是比较抽象的语言，是让你和整个数学体系里面的人沟通的，把脑子里面抽象的概念能用纸和笔演算出来 👍🏽0 💭上海 🕐2025-11-11 23:37:18
│ └── 明诚: 不至于，初中应该就明白了才对啊，我记得我小学参加数学竞赛，正确答案我填对了，但就是推导不出来，上了初中学了负数才推导了出来，后面学有理数必有无理数，有实数必有虚数，到复数…，有正面必有反面，那时候我就知道数学是理解世界的一个工具，而且这个工具是有前提条件才能成立的。 👍🏽0 💭广西 🕐2025-11-12 22:45:45
│ └── 也拟泛轻舟: 其实是没学明白[捂脸]最大的乐趣就是自己能解出难题别人不会做 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-13 10:41:06
│ └── 我心光明不可道: 人类社会总结的所有的规律，都是发明，不是发现！！！！ 👍🏽0 💭山东 🕐2025-11-14 15:56:04

汪飞: 年纪大了，感觉什么都没意思，还是这些单纯的知识更让人觉得自己是活着的。 👍🏽147 💭广东 🕐2025-11-08 14:28:53

│ └── 头大的加菲猫: 确实 👍🏽1 💭河北 🕐2025-11-08 16:33:31
│ └── 江右刀客: 由于空间，宇宙便囊括了我并吞没了我，犹如一个支点；由于思想，我却囊括了宇宙。人只不过是一根芦苇，是自然界最脆弱的东西，但他是一根会思想的芦苇。用不着整个宇宙都拿起武器来才能毁灭他，一口气、一滴水就足以致他死命。然而，纵使宇宙毁灭了他，人却仍然要比致他于死命的东西更高贵的多。因为他知道自己要死亡以及宇宙队他所具有的优势，而宇宙对此却是一无所知。 👍🏽15 💭江西 🕐2025-11-08 16:34:42
│ └── 总舵主: 看完要考的，挂了叫家长[惊喜] 👍🏽0 💭陕西 🕐2025-11-08 20:59:17
│ └── libra: 朝闻道 👍🏽1 💭江苏 🕐2025-11-09 12:59:15
│ └── 红色车厘子: 有道理 👍🏽1 💭四川 🕐2025-11-09 16:10:51
│ └── 楚人失弓量力而行: 类似的感觉，或许还有点意思，但已经很难有多少持续性的冲动了，唉 👍🏽1 💭广东 🕐2025-11-10 08:55:51
│ └── 1920023: 我用夸克网盘给你分享了《数学专业书籍大全》，点击链接或复制整段内容，打开「夸克APP」即可获取。/_0f72395fc9:/链接：夸克网盘分享 👍🏽4 💭广东 🕐2025-11-11 14:26:44
│ └── 草民程氏: 这位朋友，你真是个人才啊，100多G的文档，比我想象的大几万倍，够我看上一千年了 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-13 08:40:18

Garry Lee: 兄弟，你这回答即使开了盐选我也是愿意花钱的。这是我在知乎能给的最高称赞了 👍🏽52 💭浙江 🕐2025-11-08 20:16:49

│ └── P2Tree: 这才是盐选应该有的内容，而不是各种编出的故事 👍🏽13 💭北京 🕐2025-11-10 11:10:29
│ └── Garry Lee: 是啊，知乎刚开始那几年是真的有质量，现在全是编故事写小说的，可能这样能赚钱吧 👍🏽1 💭浙江 🕐2025-11-10 15:10:35
│ └── 第五花开: 太对了。 👍🏽0 💭浙江 🕐2025-11-12 11:40:15

五国十代: 读书时完全没体会到数学的魅力，很遗憾。今天读起这篇讲解，才感到数学那无穷的神奇力量 👍🏽95 💭辽宁 🕐2025-11-08 09:58:11

│ └── 此号已被封: 那是因为得不到的才会珍惜。可惜天赋锁死了，让你带着记忆重新回到少年再怎么学也是普通高中生。不可能成为数学天才你只是对波澜壮阔的故事感动了而已，真让你上手你会觉得枯燥乏味，要逃避。反正你现在只是随口一说不会真自己去学两天。一学一个不吱声 👍🏽16 💭浙江 🕐2025-11-08 14:42:39
│ └── 瑕亦瑜: 同感 👍🏽0 💭新西兰 🕐2025-11-08 15:16:45
│ └── 自由自在: 点赞收藏了，真是神奇，看了几行眼皮就开始打架，以后治疗失眠就靠它了[调皮] 👍🏽3 💭江苏 🕐2025-11-08 22:57:54
│ └── 皮皮风: [滑稽][赞]催眠之神，才看了几百字给我困得眼睛都睁不开了 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-09 00:14:25
│ └── Ye2Sen: 一下子就把人吸引住了，不知不觉就看完了，数学原来这么有趣[大哭] 👍🏽0 💭新疆 🕐2025-11-09 01:08:21

邻居家的晚餐: 天赋真是一个神奇的东西！我高考数学接近满分曾经在高中老师嘴里和我自以为是有数学天赋的，然而看了一些数学大神的思考笔记之后，我才知道天赋也是分三六九等的。幸好我学的是工科，够用了。 👍🏽49 💭日本 🕐2025-11-08 15:15:52

│ └── 墜绝: 比起能在数学历史上有影响力的人来说，这些大神也就是普通人，相对来说兴趣和韧性更重要 👍🏽4 💭北京 🕐2025-11-10 09:03:23
│ └── 杨朝雨: 我们学的是所有大师的精华，而大师只是在某一方面发挥到极致–也许只是兴趣使然，他的时间大部分花在这上面了。所以也不用过于神化。 👍🏽4 💭广西 🕐2025-11-10 12:16:58
│ └── 七戒: 天赋选手会吓死人，我大学同学做几何题能在脑子里面对图形进行旋转 👍🏽0 💭四川 🕐2025-11-11 09:34:05

小空: 道理我都懂，为什么外星人会说日语嗦嘎[吃瓜] 👍🏽39 💭浙江 🕐2025-11-08 11:40:39

│ └── 游山海: 哈哈哈，出现一个较真的[大笑] 👍🏽3 💭安徽 🕐2025-11-08 14:38:08
│ └── g g: 因为它们总看日本片 👍🏽9 💭天津 🕐2025-11-10 08:42:06
│ └── 天天向上: 逻辑自洽，你只要能圆回来就好。[思考] 👍🏽1 💭山东 🕐2025-11-12 10:51:12
│ └── 活化石: 因为是日本人最先给外星人联系上的？我这样说是不是很不爱国哟？ 👍🏽0 💭四川 🕐2025-11-12 13:24:00
│ └── 小童: 因为外星人最先看懂的是动作片[酷] 👍🏽0 💭湖北 🕐2025-11-13 07:34:16

Alexander: 说的太夸张了，我不否认这个公式很美很牛，但你说没这个公式就没有复分析，没有微分方程，没有电磁学，属实就太过了。是代数和分析学的发展使得欧拉发现了这个公式，而不是发现了这个公式使得复分析得以展开。这是一个起源——发展——继承——创新的过程，不是一个简单的公式定义的。就像牛顿没提出牛莱公式的时候，微积分的运用早就萌芽了，随着天文学的发展和对复杂图形处理的需求，牛顿总结并提出了这一个公式。你可以说牛顿大大推动了微积分的发展，但是你说没有牛莱公式就没有微积分，就没有微分方程，没有电磁学，没有量子力学。这就彻底跑偏了。即便没有牛顿，还有莱布尼茨，还有欧陆一众数学家。微积分的发现是早晚的事。 👍🏽27 💭上海 🕐2025-11-08 20:02:03

│ └── ggg: 有道理，先有虚数复数的概念及规则，后有欧拉的发现 👍🏽6 💭广东 🕐2025-11-08 20:24:17
│ └── 我今麦郎: 这就是学理不学文的后果[惊喜] 👍🏽2 💭山西 🕐2025-11-09 14:53:50
│ └── Singed: 什么后果? 👍🏽0 💭湖南 🕐2025-11-11 09:38:28
│ └── 布洛芬: 历史是由人民群众创造的，不是由英雄人物创造的[尴尬] 👍🏽2 💭浙江 🕐2025-11-11 12:28:56
│ └── 小刀刀: 现实是历史是由少数人创造的 👍🏽1 💭江西 🕐2025-11-14 01:53:34
│ └── laoliang: 是的，即使没有这个天才，也会有那个天才推动历史。总之所谓人民创造历史有些虚无，实际上历史的关键节点文明的关键发现都是一个个来自人民的关键英雄，所以永远是少数人推动历史进程。只是要承认任何人都来自于人民 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-14 18:58:10

嘟吧: 大学的时候，高数、线性代数、概率论都硬着头皮啃了，到了复数这门课的时候我崩溃了，当时带我们这门课的老师是个口音极重的老头，根本听不懂他在说什么，自己看又看不懂，真的很崩溃。嗯，连带着我对数学世界的兴趣一起崩溃了。当年网络也没这么普及，没法找到这些深入浅出的释疑，现在回想，真的很唏嘘。 👍🏽17 💭广西 🕐2025-11-09 01:06:09

│ └── 欢乐世界: 在某航空航天大学毕业，学习到工程函数时崩溃了 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-10 15:25:17
│ └── Songer: 复数还好，线代给我学崩了 👍🏽0 💭安徽 🕐2025-11-13 10:44:18
│ └── 没有别的意思: 哎，令我想起了大学里某位化学专业课老师令人绝望的口音[捂脸] 👍🏽0 💭浙江 🕐2025-11-13 15:03:40

猫毛: 上学时老师也像这样讲原理的话，可能学生会更有兴趣学习。[笑哭] 👍🏽29 💭四川 🕐2025-11-08 10:03:02

│ └── 慕孟: 当时的老师可能也没这么懂 👍🏽16 💭江苏 🕐2025-11-08 11:38:21
│ │ └── 狗狗不叫: 想多了，老师默认你自己悟出来这些而已 👍🏽1 💭重庆 🕐2025-11-08 13:11:05
│ │ └── null的小少年: 想多了！一线城市的老懂不懂这么多，我不敢说！反正我们八线城市里的小县城的老师，他自己也不懂这么多！ 👍🏽3 💭山东 🕐2025-11-08 13:56:10
│ └── 冰冷: 老师上课推导公式的话，睡的只会更多。中国是应试教育，是结果导向。 👍🏽10 💭河南 🕐2025-11-08 12:43:39
│ └── 柏莫顿北: 上学不是让你了解数学世界有多美，而是要求你比别人多考两分 👍🏽6 💭辽宁 🕐2025-11-08 12:51:57
│ └── xunzhaoxinqing: 是你本身就没实力去有兴趣的了解 👍🏽5 💭浙江 🕐2025-11-08 12:56:50
│ └── xiao shu: 哪有时间啊，死记硬背比这深度剖析拿高分的概率大多了 👍🏽1 💭浙江 🕐2025-11-08 14:10:38
│ └── 此号已被封: 想太多了你们一个个都。你们只是对波澜壮阔的故事对里头的传奇人物感兴趣罢了，你也想把自己代入那些史诗之路去感受他们的风景。真去学两天，一学一个不吱声这种级别的探索是要靠数学天赋的。不是课堂里多学就行的，人家会自己联想，会创造公式。而我们这些普通人只能一遍遍练习公式，怕题目形变一下，就不知道怎么用不同的公式推导出正确答案了。就是先给我正确答案我都能胡编乱套 👍🏽2 💭浙江 🕐2025-11-08 14:50:17
│ │ └── 顽强00: 我觉得确实有参考意义，比如答主对虚数的概念介绍，我自认为数学从小到大名列前茅但也从来没有想过虚数的意义是啥，只能凭借自己的理解力去死记，但很多天赋差一点的学生确实会陷入不理解虚数的牛角尖中，而老师的处理方法：你别管他怎么用，就是这么算就行了 👍🏽0 💭江苏 🕐2025-11-10 09:18:50
│ │ └── 苏画: “只管这么算”真的太可怕了，就是因为做不到，初中三年，我只会用平方差和立方差两个公式。只要不能用这俩公式的，要么先写答案然后用正确但多余的过程填充，要么硬算。如果老师没要求做完打分合格才能回家，那索性就不做了。直到工作，我都接受不了“你别管它什么原理，只要按说的做就行”。但上班比上学就好很多了，有的是机会弄清楚原理。 👍🏽0 💭辽宁 🕐2025-11-10 15:24:25
│ │ └── 七戒: 不致于吧？这些都是高中教材的内容，数系扩充是必讲的，复数几何意义是选讲，重点高中多数是讲了的 👍🏽0 💭四川 🕐2025-11-11 09:40:40
│ └── 面团跳得高: 大部分学生没有这个能力 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-08 17:49:35
│ └── 秀逗魔导师: 学生有能力理解，但老师没本事说的这么妙。数学老师的数学是应试数学不是数学家的数学。 👍🏽0 💭上海 🕐2025-11-08 20:47:15
│ └── 四季: 如果老师们都能理解到这个程度，那可能会多出很多喜欢数学的同学 👍🏽1 💭福建 🕐2025-11-08 21:20:57
│ └── 春暖花开: 不要以为老师很厉害，我敢打赌九成数学老师不懂这些 👍🏽0 💭上海 🕐2025-11-09 02:30:30
│ └── 芒果曲奇小面包吧: 你想太多了，难点考点最终还是对公式的应用。。一做一个不吱声 👍🏽0 💭上海 🕐2025-11-10 11:06:52
│ └── P2Tree: 课时紧，内容多，学生参差不齐，老师也不一定懂，总之，在某个学科上能走这么深，只能靠自己的兴趣和天赋了 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-10 11:06:54
│ └── 小幸运: 你这么一说，我对我当时初高中数学老师的水平有所怀疑 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-11 20:54:11
│ └── 不万能的牛炖先生: 然并卵 👍🏽0 💭山东 🕐2025-11-12 08:14:09
│ └── Songer: 有没有可能老师也并不了解这些。 👍🏽0 💭安徽 🕐2025-11-13 10:40:41

梦里不知身是客: 我一个数学学渣虽然看了一小半就看不懂了，但深深的被答主娓娓道来由浅入深的讲解折服了，也被数学的魅力和神奇折服了。[大哭] 👍🏽9 💭北京 🕐2025-11-08 19:54:40

芭蕉桑-火星人: 收藏了，五年后给我儿子看！[飙泪笑] 👍🏽6 💭北京 🕐2025-11-08 15:10:11

想游泳的咸鱼: 真的没看懂，感谢分享[爱] 👍🏽5 💭山东 🕐2025-11-08 11:48:55

11415: 看了下推导过程似乎有些因果倒置，复数的指数运算在一开始其实没有先验意义。本质上是为了保持复数域上的指数运算具有实数域上一样的导数性质才能推导出欧拉公式，实际上整个的推导都必须以这个为前提。可以看到在导出欧拉公式之前其实无法准确定义复数的指数运算。因为本身并无法从实数域的指数运算定义直接扩展到复数域，所以算是先射箭后画靶子（我们需要复数的指数运算的导数规律和实数保持一致，基于这个条件出发才能推导出欧拉公式），之后基于欧拉公式可以直接定义复数的指数运算 👍🏽6 💭上海 🕐2025-11-08 23:28:14

依然在: 你竟然试图教会我[大笑] 👍🏽5 💭广西 🕐2025-11-08 19:34:49

大大大中: 硬着头皮看完发现我确实不是学数学的料[捂脸] 👍🏽3 💭天津 🕐2025-11-08 21:27:15

题目: 讲的太好了，大学里学高数的时候第一次看到根号-1，完全无法理解为什么，就是因为现实中没有与之对应的现象，自己也没有去分析为什么，秉承着实用论的想法，对高数完全没有兴趣，如果当时有这篇文章的话，可能会有兴趣去学习一下 👍🏽4 💭辽宁 🕐2025-11-08 14:54:43

何谓坐忘: 这就是数学大厦的基石吗，感觉像小说里的天道筑基一样 👍🏽4 💭江苏 🕐2025-11-08 09:01:16

│ └── FOXBOT: 万法根源，放到洪荒小说里相当于直接修大道，哪个天地维度都能用。 👍🏽3 💭山西 🕐2025-11-08 11:04:03
│ └── 老谢将军: 就算真有神，欧拉公式也是神的起源 👍🏽3 💭福建 🕐2025-11-08 14:01:36

无零: 数学属于发明，但是那些公式，定理应该属于发现。就是人类发明数学（语言）去发现和使用这些自然界的公式定理。 👍🏽2 💭安徽 🕐2025-11-08 17:25:23

o铁蛋o: 学了那么多年，一直没意识到数学从头到尾都是工具，大学时代没学好数学挺遗憾的。反而上了年纪，才发现数学真有意思。 👍🏽2 💭吉林 🕐2025-11-08 19:17:05

响马先生: 讲解细致，非常感谢，受教 👍🏽3 💭山东 🕐2025-11-08 09:00:09

杂然赋流形丶: 完全不能理解这种答非所问的回答为什么能有7000赞（PS：这个问题是我半年前提的） 👍🏽1 💭北京 🕐2025-11-12 21:44:41

│ └── Songer: 显然，这并不是考试[doge] 👍🏽0 💭安徽 🕐2025-11-13 10:54:18

皖北老农: 我看不懂可是我觉得这才是知乎。 👍🏽2 💭安徽 🕐2025-11-09 07:23:56

臭写服务器的: 我明白一些复杂的数学公式可以在其他维度上找到简洁的表达方式，呈现出极致的美。但本裸猿受困于懒惰的本性和有限的智商，只能隐约的感受到他，无法看见他。[微笑] 👍🏽2 💭北京 🕐2025-11-09 10:56:18

板龙: 题主写的相当好。那个旋转90度的描述解决了我好多年好多年的疑惑。可以说以前我对于虚数只能算是一知半解，今天是真的懂了。 👍🏽1 💭云南 🕐2025-11-09 14:36:10

橙子: 讲的浅显易懂，让我一下就明白，我的数学上限就是欧拉公式。 👍🏽2 💭山西 🕐2025-11-09 22:30:20

妖妖: 宇宙就是某台计算机的代码跑出来的，所以遵循一些简单的底层公式[飙泪笑] 👍🏽2 💭广东 🕐2025-11-09 10:36:41

shipship: 看到这里，下面的就暂时看不懂了查看图片 👍🏽2 💭福建 🕐2025-11-10 00:15:24

Titaniaweg: 十进制的确是从0到9十个数字。如果联系了外星人，应该用联系的频率转换的波长建立长度比例，而不是去参考太阳。 👍🏽2 💭江苏 🕐2025-11-08 13:24:37

杨不驯: 应该是宇宙的某个规则，你可以查一下，八卦图还有道的演化都存在某种规律。 👍🏽0 💭河南 🕐2025-11-14 15:37:22

云璃曳月痕: 第一次看到这个公式就被惊艳到了，不过学的越来越多反倒觉得这个公式祛魅了 👍🏽1 💭江西 🕐2025-11-09 02:32:04

六味地黄丸: 精彩！从未见过如此精彩解读复数性质的。 👍🏽1 💭福建 🕐2025-11-08 21:23:16

│ └── 六味地黄丸: 欧拉公式是四维空间中等振幅复向量的投影关系。 👍🏽0 💭福建 🕐2025-11-08 23:18:35

哇哇哇: 看不懂，收藏了给以后上学的孩子看[思考] 👍🏽1 💭四川 🕐2025-11-09 10:35:17

陈木原: 知乎遗风 👍🏽1 💭四川 🕐2025-11-12 17:04:37

eyes: 我中文和数字都看不懂了，废了 👍🏽1 💭广东 🕐2025-11-11 11:56:00

离歌笑: 不理解，y=ix很容易理解，但y=e的ix次方，它的结果在没有欧拉公式的时候，是如何得到它的数值和提到的这种图形的啊[图片] 👍🏽1 💭上海 🕐2025-11-10 14:52:10

卫士: 可以称之为发明吗？用“发现”更贴切一点。毕竟人类所指的这个“发明”一直都存在啊，只是人类未发现而已[惊讶] 👍🏽1 💭广西 🕐2025-11-09 13:37:07

不知不乎: 懂了一半，以后再看！很不错了，当年要有这样的讲解高考就不会一塌糊涂了。 👍🏽1 💭山西 🕐2025-11-09 09:43:57

文张: 我始终没搞懂一个问题，希望有人能回答。十进制是人类的发明，这些数字是数学的基础，也发现了这些定律。那换成其他进制比如2进制，还符合这些定律么？ 👍🏽1 💭四川 🕐2025-11-08 22:43:21

│ └── 爱学习吧: 一个房子都是用土墙盖的。现在为了整体坚固程度改成砖块盖，你想啊，是换三两块砖就行呢？还是怎样才能整体都牢固？[思考] 👍🏽1 💭江苏 🕐2025-11-08 23:39:45
│ └── 爱吃豆腐的猫: 不同进制可以转换呀，在某一进制发现的定律自然而然可以应用到另一进制。 👍🏽2 💭江苏 🕐2025-11-09 02:49:27
│ └── 一只叫修的猫: 你用9999进制也符合这些定律 👍🏽0 💭山东 🕐2025-11-10 11:28:21
│ └── 一路平推: 啥进制都不影响，不同进制只会影响你计算的麻烦程度 👍🏽1 💭广西 🕐2025-11-10 17:31:39

简明杰: 非常好的文章！把复函数的复平面+x轴的表现解释得通俗易懂[赞]，看完之后确实理解更深了 👍🏽1 💭瑞典 🕐2025-11-08 19:49:57

老蘑菇蘑菇蘑菇蘑: 虽然不懂，但这知乎遗风告诉我，必须把赞给点上 👍🏽185 💭云南 🕐2025-11-08 13:52:15

│ └── 江坊樵夫: me too 👍🏽6 💭广东 🕐2025-11-08 14:43:40
│ └── 四零失业: 查看图片 👍🏽46 💭云南 🕐2025-11-08 15:57:28

烫烫烫: 写的不错，有资格进我收藏夹吃灰了 👍🏽34 💭四川 🕐2025-11-08 13:34:44

yu丰: 欧拉是虚构不存在的！数字数学来自于先天神物河图洛书易经八卦！河图洛书易经八卦才是数字数学之祖！西方所谓的数学全部来自于河图大易文化！他们是抄袭的！《周易系辞传数术》《周髀算经》《九章算术》《河洛精蕴》里都有！欧拉名字的内涵就是太极，太阳神指的是河图洛书易经。 👍🏽0 💭吉林 🕐2025-11-10 14:39:01

Yokwi: 还是有漏洞，你告诉外星人我们定义水的冰点是0度，沸点是100度，恐怕他们还是无法理解。首先得定义H2O是水，但是H和O并不是通用语言，得定义H是一个原子核带一个电子，继而类似定义O，在表达化合作用生成水。即便如此，你仍然无法定义一个标准大气压。所以，不如直接用绝对0度和太阳表面温度（如果届时人类还测不准，也可以换一个可以双方都能用自己的方式与单位准确测量的自然天体或人造天体）来设定两头，然后等分刻度。 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-11 08:25:54

风影云光烟: 比刷抖音有意思多了 👍🏽0 💭中国 🕐2025-11-10 15:03:33

江山: 中国的数学教材，实在是不知道是些什么东西编写的，我上的重点高中，但是高中数学对我来说就是天书，上大学后微积分，线性代数，对我来说根本看不懂。直到毕业十几年后，有次无意中在网易公开课中，看到讲微积分的教学，纯英文的，带有英文字幕，不到5分钟我就理解了什么是微积分，确切点说应该叫积微分，我不知道哪个傻逼，把这门学科翻译成微积分，后来才知道美国教材中，对于高等数学的讲解极其精微，完全是把学生当傻子来教，一点一点的给你讲为什么，而中国的那些所谓的教授，一开始就假设学习者都是些天才，上来就是各种高深理论，对于像我这样爱较真的人来说，基础概念你都说不明白，往后我怎么学习？ 👍🏽0 💭河北 🕐2025-11-14 15:36:01

小熊摆烂计划: 宇宙现象的数字语言酷吧[酷] 👍🏽0 💭湖北 🕐2025-11-14 12:10:23

hello nico: 等一下，我刚刚是不是学习了 👍🏽0 💭浙江 🕐2025-11-14 11:56:25

│ └── hello nico: 知乎应该有的样子 👍🏽0 💭浙江 🕐2025-11-14 11:56:55

修行小宝: 没有这个天赋，强行学习只会和学天书一样，嘿嘿。 👍🏽0 💭黑龙江 🕐2025-11-14 11:05:45

欧尔德布拉热: 虽然答主讲的很平实，但我还是看不懂，不过也不影响点赞。 👍🏽0 💭云南 🕐2025-11-14 07:50:28

momo: 我看过一个纪录片，里面说欧拉，高斯家里都有大量阿拉伯数学家的手稿… 不知道是不是受其启发。阿拉伯数学貌似那时挺发达。 👍🏽0 💭新疆 🕐2025-11-13 13:53:01

人到中年: 没有一公式，雷达5G都不存在，这话怎么看都不对。 👍🏽0 💭广西 🕐2025-11-13 15:42:30

Xenoa: 我以前是通过exp,sin,cos的泰勒展开式凑出来的。不过这个方法感觉很不严谨。 👍🏽0 💭安徽 🕐2025-11-13 09:52:47

腌臜: 从小就学不来数学，因为我学什么都习惯刨根问底，从来源和发展去记忆，这样才能建立体系去学习它，但是数学是一上来就让你记这个，问为什么，老师说不用问记住就行，很少能遇到像答主这种能通俗易懂地表达数学来源方程的人，如果从小就是接受这种教育的话，现在的我会是什么样子呢？ 👍🏽0 💭云南 🕐2025-11-13 03:47:04

│ └── chrisvi: 想多了，数学是纯天赋的，学不明白就是学不明白 👍🏽0 💭天津 🕐2025-11-13 22:47:09

刘柄圻: 好烦，被按着脑袋学了半小时数学，刚把虚数的概念理解了，心想既然你用虚数把数字从一维坐标上升到二维，为什么不是三维，然后就看到了三维坐标系，脑瓜子嗡嗡的 👍🏽0 💭陕西 🕐2025-11-13 13:29:39

王耀: 看了一半看不懂了。 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-13 06:13:49

一半酸: 虽然看不懂，还是点赞，还是觉得很厉害。[捂脸] 👍🏽0 💭天津 🕐2025-11-13 11:37:58

格图洛书: 知乎遗风[机智] 👍🏽0 💭湖北 🕐2025-11-13 14:19:41

朱大哥: 完犊子了，大学毕业好久了，连欧拉公式的字母都认不全了 👍🏽0 💭河南 🕐2025-11-13 07:50:19

王总: 文科生看到复平面中Y=x围绕哪个轴旋转90度，会得到Y=ix？今天先学到这里。 👍🏽0 💭浙江 🕐2025-11-12 22:57:45

杯莫停: 没别的意思，单纯想抬个杠：跟外星人描述长度的话，用质子或中子的直径作单位不是更好嘛。 👍🏽0 💭山东 🕐2025-11-12 15:41:59

糖友如何降糖: 宇宙中所有的物质都是现成的，人就是发现而已，文字即宇宙文明 👍🏽0 💭辽宁 🕐2025-11-12 16:02:13

冷寒: 我看不懂，但是我大受震撼。 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-12 16:30:14

老乔: 数学是让人类最接近神的工具 👍🏽0 💭四川 🕐2025-11-12 20:32:35

Hackee: 这大学数学，不就听明白了么[思考] 👍🏽0 💭辽宁 🕐2025-11-12 15:23:58

达夫: 世界是人类在虚无的物质上构建出来的，理性是对世界的抽象，逻辑是分析理性的工具，数学也是。理性因为是抽象的，所以不是完整的，数学也是。 👍🏽0 💭江苏 🕐2025-11-12 16:37:16

风筝: 难怪欧拉欧拉欧拉欧拉欧拉这么厉害 👍🏽0 💭湖北 🕐2025-11-12 13:15:31

钢尺少女: 没读完，切勿删帖[感谢] 👍🏽0 💭湖南 🕐2025-11-12 23:47:20

种花家的兔子: 先收藏吧，太长了，有时间再看。 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-12 16:44:49

ClimentCY: 是宇宙本身的规律，虽然他只是一个参照工具，但是数学的某些和谐性可以揭示一部分客观规律。 👍🏽0 💭湖北 🕐2025-11-12 08:29:26

第五花开: 当然上高中的时候，硬是没有理解透。上大学由于上了不同的专业，这一块也没专研了。现在看了，感觉很爽，那时候，老师讲得这么好就好了。 👍🏽0 💭浙江 🕐2025-11-12 11:42:39

FDuiv: 感觉可以从重整化群入手建立数学和物理的关系 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-12 00:30:15

张羽娇: 谢谢答主，看了你的讲解，我感觉数学好美！[赞] 👍🏽0 💭四川 🕐2025-11-12 07:38:22

曾经有个人: 感觉虚数并非毫无意义，它的存在正是因为四维空间的存在而存在的，今天我们无法理解它，那正是因为我们无法理解四维空间 👍🏽0 💭甘肃 🕐2025-11-12 16:56:25

zyjtron: 果然我没有成为数学家的资质[捂脸] 👍🏽0 💭陕西 🕐2025-11-11 19:51:01

滚石也能长草: 给外星人的温度定义漏了“标准大气压”，然后你又要给外星人解释帕斯卡，引入了牛顿（平方米之前有了），要解释牛顿就要引入kg和s[doge] 👍🏽0 💭四川 🕐2025-11-11 17:41:20

士子之心: 字，基本上都认识，连在一起，得承认那不识字了 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-12 02:07:29

衍空: [思考][思考][思考][思考][思考][思考][思考][大笑][大笑][大笑][大笑] 👍🏽0 💭河南 🕐2025-11-11 20:39:42

黑山老妖: 我一个高中没毕业的七零后竞然看得津津有味 👍🏽0 💭河南 🕐2025-11-12 09:18:34

雪天月夜: 数学是人类创造出来的，数学是自由的，数学是一种艺术[赞同] 👍🏽0 💭四川 🕐2025-11-12 09:20:30

一棵树: 博主对数学的理解很深刻[哇] 👍🏽0 💭河南 🕐2025-11-11 23:24:16

小肥羊: 你写多，给你点赞。 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-12 09:16:52

李不知: 幸好后面变付费了，我可以说我囊中羞涩而不是智商余额不足[捂脸] 👍🏽0 💭德国 🕐2025-11-12 04:02:34

长情若玊: 大哥，我跪了[拜托] 👍🏽0 💭内蒙古 🕐2025-11-11 15:23:46

uncle wang: 我天啊，太牛了，我纯文科生被震撼了，原来数学这么美，虽然我读了一半没太懂，但不妨碍我夸它，原来数学这么美。 👍🏽0 💭吉林 🕐2025-11-11 14:42:28

Hauyne: [大哭]我和数学是真没缘分 👍🏽0 💭四川 🕐2025-11-11 16:11:51

阴暗的拐角: 我觉得数学物理化学这些本身就是不存在的，它只存在于人类社会。是人对宇宙的理解，对宇宙规律的总结。如果从上帝视角看，宇宙可能只是应用一条规律而存在，这一条规律可以归纳所有的数学物理化学公式。但也有可能我们所认知的公式、定理只是在某种特定条件下存在，这取决于人对宇宙的理解。 👍🏽0 💭江苏 🕐2025-11-12 08:34:42

逍遥游: 学习了 👍🏽0 💭山东 🕐2025-11-11 14:42:49

超然: 太长了，看着看着就看不下去了，先收藏吧……看来我是成不了数学家的，虽然我一直都知道 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-11 14:25:25

竹秋: 看的好过瘾[赞] 👍🏽0 💭新疆 🕐2025-11-11 14:13:53

菜菜: 好东西多写爱看 👍🏽0 💭上海 🕐2025-11-11 18:31:40

送你一朵小红花: 啊，知识的甜美气息 👍🏽0 💭重庆 🕐2025-11-11 10:00:10

无名小萃: 这是好东西呀，真的很好！ 👍🏽0 💭山东 🕐2025-11-11 17:15:07

进击的小黄人: 讲的真好！ 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-11 09:36:51

三十不举: 为什么说是9进制 👍🏽0 💭上海 🕐2025-11-11 02:38:06

训子: 数学是哲学 👍🏽0 💭湖南 🕐2025-11-08 21:29:24

满船咸鱼我肉最咸: 外星人还会日语是我没想到的 👍🏽0 💭日本 🕐2025-11-11 15:16:30

爱谁谁: 我读书时候是数学渣，居然看懂了这个文章，，直到…极坐标出现，，，我觉得我可能不是天赋差，还是老师没教好[捂嘴] 👍🏽0 💭浙江 🕐2025-11-11 11:24:23

德莱文是小可爱: 看困了，我确实不是受众[捂脸] 👍🏽0 💭江苏 🕐2025-11-11 14:54:17

myiowa: 当时学复数的时候看见第一感觉和现有时空有一对称的时空两者一旦相融合宇宙又归于0（虚空） 👍🏽0 💭重庆 🕐2025-11-11 09:31:59

丿爻丨: 太强了，虽然看不懂，还是收藏了，将来给我儿孙学习 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-14 19:09:53

黄小飞: 收藏了，多年后在看，有不同的感觉[赞][赞][赞] 👍🏽0 💭安徽 🕐2025-11-11 00:34:57

穿杨君: -1是转180度，难道不是-0.5是转90度吗？为啥是-1开平方是转90度？[思考][思考][思考] 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-11 10:16:16

火云掌煎的荷包蛋: 不觉明历 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-11 10:06:42

正常人: 水的冰点沸点在不同大气压下也是不一样的怎么跟外星人说呢 👍🏽0 💭天津 🕐2025-11-11 13:56:34

守先: 我觉得数学是人类用自己的方式和方法来理解宇宙规律的东西。 👍🏽0 💭陕西 🕐2025-11-10 23:57:44

唐小天: 数学宇宙的语言，是人类发现的 👍🏽0 💭山东 🕐2025-11-10 18:10:25

字儿: 按照这个道理，世界并无发明，只有发现。世界并无创造，只有重新拼接！ 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-10 17:50:18

百合之路: 总感觉数学太有规律了而物理世界并不是那么的有规律 👍🏽0 💭浙江 🕐2025-11-11 08:16:50

hello world: 涨姿势了，我之前学习时的理解略有不同。我的理解是：开方是乘法的反向运算。通常情况下，我们用的都是‘实数’。经过前人的积累，我们已经把乘法的运算规律总结了，但是依然只适用于‘实数’。一个数的平方，结果不为负–>大家都很明白，正数乘正数为正，负数乘负数也为正，所以大家就认为只有正数才能开方。但是回到原本的定义，平方就是自身与自身相乘。那这时候，定义一个自身与自身相乘，结果为负不就是虚数了？以此，建立虚数的计算方式，规律，这就是后续的发展咯。最好玩的是，虚数的多次幂，是正虚->负实->负虚->正实…这样的循环。[发呆] 👍🏽0 💭重庆 🕐2025-11-10 16:33:34

龙猫欧巴: 评论区：“真不是我没天赋”[看看你] 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-11 10:37:31

宇宙宾果: 不错，没看完就能睡着 👍🏽0 💭重庆 🕐2025-11-10 22:59:13

sclzlf: 看完了得到一个结论，我没有数学天赋[打招呼][打招呼][打招呼] 👍🏽0 💭四川 🕐2025-11-09 12:42:10

円光歐吉桑: 我这就回去玩我的辐射4 👍🏽0 💭河南 🕐2025-11-08 18:47:30

泽卫: 莫名其妙想哭 👍🏽0 💭浙江 🕐2025-11-08 19:39:24

哎呦喂: [思考]升维了从二维表现三维？ 👍🏽0 💭湖南 🕐2025-11-10 23:13:46

小海豚: 回复的网友，你们感觉作者说明白了吗？公式里为什么有e？另外，幂数里有虚数j，实际是什么？ 👍🏽0 💭辽宁 🕐2025-11-11 00:20:00

带专摆王: 知乎遗风[赞同][赞同][赞同] 👍🏽0 💭河南 🕐2025-11-10 14:04:02

Rudygo152: 写的太好了 👍🏽0 💭山东 🕐2025-11-10 12:38:24

翟中巍: 这正好说明了，数学是人类发明的逻辑语言，通过公理与推导证明的思维游戏，数学的产生来源于自然，所以能很好的描述物质世界。但现在数学的发展已经超过了我们所在的物质世界。 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-10 16:55:57

放弃思考: 喔，神了。我竟然懂了复数。之前一直不理解复数的概念。看来没有笨学生，只有笨老师。没有好学生，只有好老师。想起小学时隔壁村有个老师是大佬，后来被调城里了。ta教的那一届和我们是同年。上初中后，几乎每个班的第一名都是那个村的 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-10 17:06:57

素志集: 前面看得懂，越到后面越懵逼 👍🏽0 💭湖南 🕐2025-11-14 17:03:17

水石: [赞][赞][赞] 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-10 14:27:14

会轻功的熊: 建议多个实数轴这段做动画吧 👍🏽0 💭江苏 🕐2025-11-10 12:32:46

MEGAN: 通俗易懂，引人入胜，深入浅出，大大的赞[赞] 👍🏽0 💭新疆 🕐2025-11-10 12:27:40

行者: 即使没有欧拉公式，甚至没有任何人类所创造的学问，电磁波早已存在了无数年，并将继续存在下去。数学是人类对世界的理解，却与世界的存在无关。 👍🏽0 💭重庆 🕐2025-11-10 19:59:47

Nautilus: 论证不完全严谨，但是很有趣[doge] 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-11 00:28:01

星光熠熠: 我了解到数学是语言还是客观规律是存在争议的 👍🏽0 💭湖北 🕐2025-11-10 13:41:17

普通人: 对于我来说，用泰勒公式推出欧拉公式比较好理解，然后再结合cosx+isinx图像去理解 e^(ix) 的图像。从零直接理解e^(ix) = cosx+isinx的图像还是很难想象的，不知道凭什么这么定义，等号怎么来的。但如果先使用泰勒公式证明二者是相等的，然后就可以顺理成章地利用cosx+isinx 去理解 e^(ix)的图像了。感谢博主 👍🏽0 💭海南 🕐2025-11-10 11:12:27

Nash: 很遗憾大学只学了一学期的高数，看完还是不太明白，但是还是谢谢大神的分析和讲解！ 👍🏽0 💭湖北 🕐2025-11-10 10:55:16

方寸山人: 我的天，我竟然耐着性子看完了。当年学数学如果有这么好的耐心，成绩应该能提一提。[捂脸][捂脸][捂脸] 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-10 18:27:05

殘boy劍: 欧拉公式是真的漂亮 👍🏽0 💭江苏 🕐2025-11-10 10:48:42

yooa: 因为欧拉公式，所以上帝存在！ 👍🏽0 💭福建 🕐2025-11-10 17:07:27

来自东方的末影人: 数学应该算是一门逻辑学，欧拉公式我没记错的话最早其实就是泰勒展开直接带进去了 👍🏽0 💭安徽 🕐2025-11-10 14:19:25

│ └── 干货逻辑: 那个是后来的 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-10 16:13:24

张代民: 人类发现了宇宙本身的语言_数学！ 👍🏽0 💭上海 🕐2025-11-10 10:19:59

知冰语: 一路刷下来，居然有刷小说的快感，鞭辟入里，深入浅出，痛快！加入传家宝收藏夹 👍🏽0 💭湖南 🕐2025-11-10 09:35:14

最后一枪: 感谢答主用这么大的篇幅深入浅出循循善诱地教会了我。我终于明白了，数学，不会就会是不会，再努力也是不会。 👍🏽0 💭广西 🕐2025-11-10 16:40:15

白日梦想家: 苟富贵毋盐选 👍🏽0 💭上海 🕐2025-11-10 12:17:12

chijiange: 优秀的数学老师[赞] 👍🏽0 💭上海 🕐2025-11-10 09:07:42

rrrrrry: 感觉越看越不像中文，但是还是把赞点了。（我大学放弃理科改投文科就是因为我感觉无论是数学，化学还是物理都开始越来越反直觉，而我理解反直觉的知识通常会步履维艰，唯一还理解得了的理科是地理，但志愿被新传录走了也没办法） 👍🏽0 💭辽宁 🕐2025-11-10 00:09:49

happy happy happ: 嗯，我对我数学能力有清晰的认知。 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-10 15:49:44

penger: 看到吐槽复数的命名，就看不下去了[捂脸]，确实同音负数了，不如把复数改名叫杂数[飙泪笑] 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-10 10:11:40

Leon: 为什么没有π？ 👍🏽0 💭陕西 🕐2025-11-10 09:53:07

顽强00: 拉屎的时候看到肛裂 👍🏽0 💭江苏 🕐2025-11-10 09:15:32

梅村山人: 严格意义来说，人类所有的发明，都只是发现 👍🏽0 💭湖南 🕐2025-11-10 08:48:47

小雨诺诺z: 整篇文章的精华在于如何理解i以及数学的工具化，后面的欧拉公式证明讲起来反倒有些普通了。这种伪三维视角把欧拉公式从符号变成了运动，直觉上误以为虚数是空间方向，我仔细想想直接用z轴来看好像也不是不行？这后面又要想到四元数去了[捂脸]阅读完后深刻理解到i是一个几何可视化工具，受益匪浅[赞][赞] 👍🏽0 💭浙江 🕐2025-11-10 07:59:50

真的眼睛: 能不能讲点我能看懂的[大笑] 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-10 15:02:08

负债老张: 真的，注册知乎就是想在碎片时间刷到这种答案拓展自己的知识面，而不是每天看到谁赢谁输。[撇嘴] 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-10 13:25:29

王向前: 加减是一维的事情，乘是二维的事情，非要在一维空间里搞乘，有时候一维空间就不够用了，所以搞出来一个虚数，实际上就是定义了一个二维空间。 👍🏽0 💭上海 🕐2025-11-10 08:59:45

海中行: 错了，你得先告诉外星人水是啥[耶] 👍🏽0 💭内蒙古 🕐2025-11-09 23:24:48

青衣洞主: 开篇深入浅出，真的好 👍🏽0 💭奥地利 🕐2025-11-09 21:36:35

一只叫修的猫: 这么看来，欧拉数学天赋不在我之下。[思考] 👍🏽0 💭山东 🕐2025-11-10 11:29:53

zpounds: 我佩服。要是老师都有这个水平就好了 👍🏽0 💭湖北 🕐2025-11-10 10:37:04

四月五: 既看不懂也提不起兴趣，作为初中开始数学不及格的我点赞了，因为我知道是好东西，希望我儿子将来能看明白 👍🏽0 💭天津 🕐2025-11-10 07:52:10

偶像苏东坡: 自从变成平面以后就开始看不懂了，睡一觉明天再尝试着看一下[暗中学习] 👍🏽0 💭河南 🕐2025-11-09 22:46:37

一颗流星: 数学这点东西。感觉老祖宗真没研究。如果西方不入侵。直接让天朝一直这样发展下去。再过一万年，也不知道中国是啥样。 👍🏽0 💭古巴 🕐2025-11-10 07:25:49

omom: 我老师如果能讲的这么好…哎 👍🏽0 💭河北 🕐2025-11-09 17:47:38

风吹云下伞: 如果是高三的时候我会摩拳擦掌好好琢磨一下，然而现在我只会点赞然后在评论区阿巴阿巴。 👍🏽0 💭辽宁 🕐2025-11-10 10:12:29

樊浩然: 看到i的平方等于-1时，我的cpu已经无法兼容了。恩，对不起，我还是离数学远一些 👍🏽0 💭安徽 🕐2025-11-10 10:00:51

枫叶: 数学好，分析能力强。[握手] 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-10 11:34:45

凹凸棒: 数学从我这个外行看，是人类发明的一套逻辑语言，用于解释一些奇怪的问题。 👍🏽0 💭上海 🕐2025-11-10 08:46:58

糖.刀: 太长不看，但直觉告诉我这是一篇雄文，所以点赞。 👍🏽0 💭四川 🕐2025-11-09 22:35:34

一片大好: 会不会很简单的问题让人类给搞复杂了呢？ 👍🏽0 💭黑龙江 🕐2025-11-09 21:11:18

随心远行: 必须得承认：我不能感受到欧拉公式的魅力，没有成为数学家的潜质。 👍🏽0 💭黑龙江 🕐2025-11-10 09:03:15

青山哥哥: 数学只是结构而已。是结果而不是原因。 👍🏽0 💭湖北 🕐2025-11-10 12:34:40

丰茂: 数学是人发明的思考工具。 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-10 12:03:15

子小走刀口: 在上班摸鱼呢，看到50%就开始要动脑子理解了[捂脸]越往后面看，感觉又回到上学上课那种状态了[捂脸] 👍🏽0 💭河南 🕐2025-11-10 10:26:42

六边形的鱼: 看不懂，不知道欧拉公式美不美，但是欧拉欧拉欧拉很酷 👍🏽0 💭河北 🕐2025-11-09 14:13:22

非常爱国: 咋家迷人而又危险的老祖宗那个纲常公式才最迷人，君臣父 👍🏽0 💭湖南 🕐2025-11-09 13:11:49

大敏敏: 有意思，求连更x=t 👍🏽0 💭上海 🕐2025-11-09 09:00:12

脆弱的芦苇: 数学是最纯粹的科学，也最优美。[感谢] 👍🏽0 💭江苏 🕐2025-11-10 08:52:33

黑松涛: 强烈感觉，很多数学老师完全不合格！ 👍🏽0 💭河北 🕐2025-11-10 08:40:39

苏伊士: 我不想知道宇宙是怎么来滴，我想知道宇宙是怎么没滴[捂脸] 👍🏽0 💭河北 🕐2025-11-09 11:15:07

叽哩叽哩鸡: 牛逼！一维虚数这里讲的很明白[感谢][感谢][感谢] 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-09 20:55:38

阿兰德伟: 作为文科生，确实不行，感觉自己智商不太够[飙泪笑] 👍🏽0 💭辽宁 🕐2025-11-09 13:07:32

刘行: 没这么神秘，其实自己都说了，只是在原有数学体系里自洽，和宇宙奥秘没有半毛钱关系，就相当于为了计算方便自己定义了一些莫名其妙根本就不对应现实世界的东西，而定义的越多整个数学系统就越复杂，最后在复杂计算里面自己都搞不清楚实际意义了，兜兜转转发现他们竟然能联系上，其实这种联系在定义的开始的就已经内涵在里面了。 👍🏽0 💭重庆 🕐2025-11-10 01:54:04

网名为谁而取: 真的好牛啊，欧拉能发现这条公式的确很伟大，而答主能耐心地写下这篇文章给我们也很优秀，给你点个赞，社会需要你们这么优秀的人来带领、带来革新。[赞同][赞同] 👍🏽0 💭广东 🕐2025-11-10 00:03:21

夏天的风: 是宇宙按这个公式设计的 👍🏽0 💭湖北 🕐2025-11-09 12:38:11

冬非寒心: 我理解作者想要表达的意思，但我还是想提出一个不严谨的地方：温度定义处应为“在一个标准大气压下，即1.013×10^5 Pa时定义液态水的凝固点为0℃”，也就是说告诉外星人摄氏度定义时还要先给出气压的标准，因此不如直接给出热力学温度 301.15 K，定义1 K为“对应玻尔兹曼常数为1.380649×10-23J·Κ-1的热力学温度”，或者采用旧标定义为水的三相点的热力学温度的1/273.16。 👍🏽0 💭福建 🕐2025-11-09 12:07:10

ALena: 讲的太复杂了 👍🏽0 💭浙江 🕐2025-11-09 11:45:47

白夜泛舟: 尝试看懂然后失败 👍🏽0 💭江西 🕐2025-11-09 09:22:35

ChinaSF.com 中文科幻: 虽然，但是 👍🏽0 💭天津 🕐2025-11-09 16:10:17

莫问: 看了这篇文章真想把自己大脑掏出来捋捋 👍🏽0 💭江西 🕐2025-11-09 14:49:27

台城柳: 果断点赞[赞] 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-08 21:15:48

假亦真时真亦假: 高薪聘请您做家教 👍🏽0 💭北京 🕐2025-11-08 20:57:14

│ └── 独立制作人何小冰: 认知确实高。但恕我直言，楼主的才华，在中小学应试教育领域未必管用 👍🏽0 💭江苏 🕐2025-11-09 02:14:29